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Alle folgenden Formeln setzen voraus, dass Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Im Gradmaß liefert die Kettenregel den zusätzlichen Faktor .
Die Formeln für Sinus und Kosinus folgen direkt aus der Grenzwertdefinition der Ableitung. Die übrigen vier lassen sich anschließend mit trigonometrischen Identitäten sowie der Produkt- oder Quotientenregel herleiten.
Die Tabelle ordnet jeder Funktion ihre Ableitung und die Bedingung für ihren Definitionsbereich zu. Alle Winkel stehen im Bogenmaß. Einschränkungen für einen Nenner gelten auch nach dem Ableiten.
| Funktion | Ableitung | Bedingung |
|---|---|---|
| Alle reellen Zahlen | ||
| Alle reellen Zahlen | ||
Für beschreibt die Ableitung die Steigung der Sinuskurve. Bei beträgt die Sinussteigung . Am Hochpunkt bei wird die Steigung .
Auf ist der Kosinus positiv, also steigt der Sinus. Auf ist der Kosinus negativ, also fällt der Sinus. Eine Ableitung von null am Hochpunkt bedeutet eine waagerechte Tangente.
Die folgenden Beispiele verbinden diese Formeln mit den bekannten Ableitungsregeln. Bestimme zuerst die äußere Regel, leite dann den Winkel ab und multipliziere, denn die Ableitung von ist gleich mal der Ableitung von .
Bestimme die Ableitung von .
Lösung:
Mithilfe der Summenregel können wir diese Funktion Term für Term differenzieren.
Bestimme die Ableitung von .
Lösung:
Verwende die Produktregel .
Seien und .
Dann und .
Bestimme auf dem Definitionsbereich die Ableitung von .
Lösung:
Verwende die Quotientenregel .
Seien und .
Dann und .
Berechne zuerst den Zähler:
Verwende die pythagoräische Identität:
Faktorisiere den Ausdruck:
Die vereinfachte Formel gilt weiterhin nur auf dem ursprünglichen Definitionsbereich. Werte mit bleiben ausgeschlossen, auch wenn der letzte Ausdruck dort definiert zu sein scheint.
Jede Aufgabe verlangt die erste Ableitung eines trigonometrischen Terms, die zweite ist ein Produkt. Wähle die Regel, die zur Struktur passt.
Lösung:
Verwende die Differenzregel und leite beide Terme einzeln ab.
Schritt 1: Ersten Term ableiten
Die Ableitung von nach der Potenzregel ist .
Schritt 2: Zweiten Term ableiten
Die Ableitung von ist .
Schritt 3: Ergebnisse zusammenführen
Die Ableitung der Funktion ist also .
Lösung:
Verwende die Produktregel .
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
Schritt 1: , , und bestimmen
Seien und .
Dann und .
Schritt 2: Produktregel anwenden
Schritt 3: Eine trigonometrische Identität verwenden (optional)
Das Ergebnis kann auch mit der doppelten Winkelidentität vereinfacht werden.
Die Ableitung der Funktion ist also .
