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Für trigonometrische Funktionen gelten dieselben Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln wie für algebraische Funktionen. Neu sind lediglich die grundlegenden Ableitungen, von denen wir ausgehen.
Alle folgenden Formeln setzen voraus, dass Winkel im Bogenmaß angegeben sind. Im Gradmaß käme ein zusätzlicher konstanter Faktor hinzu.
Die Formeln für Sinus und Kosinus folgen direkt aus der Grenzwertdefinition der Ableitung. Die übrigen vier lassen sich anschließend mit trigonometrischen Identitäten sowie der Produkt- oder Quotientenregel herleiten.
Dies sind die Ableitungen der sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen:
Ableitung des Sinus:
Ableitung des Kosinus:
Ableitung des Tangens:
Ableitung des Kotangens:
Ableitung des Sekans:
Ableitung des Kosekans:
Die folgenden Beispiele verbinden diese Formeln mit den bekannten Ableitungsregeln.
Bestimme die Ableitung von .
Lösung:
Mithilfe der Summenregel können wir diese Funktion Term für Term differenzieren.
Bestimme die Ableitung von .
Lösung:
Verwende die Produktregel .
Seien und .
Dann und .
Bestimme auf dem Definitionsbereich die Ableitung von .
Lösung:
Verwende die Quotientenregel .
Seien und .
Dann und .
Die vereinfachte Formel gilt weiterhin nur auf dem ursprünglichen Definitionsbereich. Werte mit bleiben ausgeschlossen, auch wenn der letzte Ausdruck dort definiert zu sein scheint.
Lösung:
Verwende die Differenzregel und leite beide Terme einzeln ab.
Schritt : Ersten Term ableiten
Die Ableitung von nach der Potenzregel ist .
Schritt : Zweiten Term ableiten
Die Ableitung von ist .
Schritt : Ergebnisse zusammenführen
Die Ableitung der Funktion ist also .
Lösung:
Verwende die Produktregel .
Schritt : , , und bestimmen
Seien und .
Dann und .
Schritt : Produktregel anwenden
Schritt : Eine trigonometrische Identität verwenden (optional)
Das Ergebnis kann auch mit der doppelten Winkelidentität vereinfacht werden.
Die Ableitung der Funktion ist also .
