For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Eine arithmetische Folge geht vom einen Glied zum nächsten über, indem sie jedes Mal dieselbe Zahl addiert. Die Definition unten hält diese Regel fest, und das allgemeine Glied liefert jedes Glied aus seiner Position.
Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant.
Für die Folge gilt also:
Dabei bezeichnet die gemeinsame Differenz.
Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied und der gemeinsamen Differenz lautet das allgemeine Glied:
Eine geometrische Folge geht vom einen Glied zum nächsten über, indem sie jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert. Quotienten beschreiben diese Regel, und das allgemeine Glied liefert wieder jedes Glied aus seiner Position.
Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
Für die Folge gilt, sofern die Nenner nicht null sind:
Dabei bezeichnet den gemeinsamen Quotienten. Die gleichwertige Multiplikationsregel bleibt auch für ein Nullglied sinnvoll.
Für eine geometrische Folge mit dem ersten Glied und dem Quotienten lautet das allgemeine Glied:
Die Formel gilt für positive ganzzahlige Gliednummern und . Für setzt du und für . Wie bei arithmetischen Folgen ist beim ersten Glied noch kein Rechenschritt nötig. Daher steht im Exponenten .
Beide Typen wiederholen eine Operation, und die wiederholte Operation bestimmt den Folgentyp. Die Tabelle und die Beispiele unten zeigen, wie du beide auseinanderhältst. Vergleiche die Spalte für die Differenz mit der Spalte für den Quotienten, denn genau dieser Vergleich wird bei der Klassifikation verlangt.
Prüfe nacheinander Differenzen und Quotienten:
Arithmetische Folge: Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind sie konstant, ist die Folge arithmetisch.
Geometrische Folge: Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder, sofern die Nenner nicht null sind. Sind sie konstant, ist die Folge geometrisch.
Die Tabelle stellt beide Typen nebeneinander, sodass sich die beiden Formeln Zeile für Zeile vergleichen lassen.
| Aspekt | Arithmetische Folge | Geometrische Folge |
|---|---|---|
| Muster | Konstante Differenz | Konstanter Quotient |
| Allgemeines Glied | ||
| Bildung des nächsten Glieds | Eine Konstante addieren | Mit einer Konstanten multiplizieren |
Die Folge hat konstante Differenzen:
Die Folge ist daher arithmetisch. Für die Folge gilt:
Die Folge ist geometrisch mit . Die Folge ist weder arithmetisch noch geometrisch: Ihre Differenzen sind nicht konstant, und auch die Quotienten stimmen nicht überein.
Eine nichtkonstante arithmetische Folge hängt linear von ihrem Index ab. Eine geometrische Folge mit einem positiven Quotienten ungleich eins hängt exponentiell vom Index ab. Diese Begriffe beschreiben die mathematische Form. Sie bedeuten nicht, dass ein realer Vorgang unbegrenzt nach demselben Modell weiterläuft.
Wenn man jeden Monat denselben Betrag addiert, entsteht ein arithmetisches Modell. Eine monatliche Änderung um denselben Prozentsatz führt dagegen zu einem geometrischen Modell.
Die konstante Nullfolge ist arithmetisch mit und erfüllt zugleich für jeden Wert von . Eine konstante Folge ungleich Null ist arithmetisch mit und geometrisch mit .
Daher überschneiden sich in diesen Spezialfällen die arithmetischen und geometrischen Kategorien.
In jedem Beispiel unten stehen ein Startwert und eine wiederkehrende Änderung. Die Beispiele nennen das Muster und den Wert von oder . Bestimme beide Werte zuerst selbst, bevor du die beschriftete Lösung liest, und prüfe dann, ob das gefundene Muster jedes Glied erzeugt.
Jeder Schritt addiert denselben Betrag, also bleibt die Differenz konstant.
Regelmäßiges Sparen: Ein Schüler zahlt im ersten Monat , im zweiten und im dritten in die Schülergenossenschaft ein. Bei der Differenz lässt sich der Einzahlungsbetrag im . Monat mit der Formel für arithmetische Folgen berechnen.
Die Einzahlung im zehnten Monat beträgt:
Pflanzenwachstum: In einem vereinfachten Modell wächst eine Pflanze jede Woche um und ist anfangs hoch. Die modellierte Höhe bildet dann eine arithmetische Folge.
Am Ende der dritten Woche beträgt die Höhe:
Jeder Schritt multipliziert mit demselben Faktor, also bleibt der Quotient konstant.
Anlage mit Zinseszins: Werden ohne Einzahlungen oder Entnahmen angelegt und die Zinsen von jährlich gutgeschrieben, bildet der Wert am Ende jedes Jahres eine geometrische Folge mit dem Quotienten .
Nach zwei Jahren beträgt das Guthaben:
Idealisiertes Populationswachstum: Verdoppelt sich eine modellierte Bakterienpopulation stündlich, entsteht eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Reale Populationen stoßen irgendwann an Grenzen, die dieses einfache Modell nicht abbildet.
Nach drei Verdopplungsintervallen ist die Bakterienzahl achtmal so groß wie der Anfangsbestand:
Klassifiziere jede Folge und bestimme, sofern möglich, oder . Prüfe zuerst die Differenzen und wechsle erst dann zu den Quotienten, wenn die Differenzen nicht konstant sind. Auch eine Folge, die zu keinem der beiden Muster passt, braucht eine Antwort.
Berechne die Differenzen und Quotienten der gegebenen Glieder. Jeder Nenner eines Quotienten muss ungleich null sein. Bei der dritten Folge liefern die aufeinanderfolgenden Rechnungen unterschiedliche Ergebnisse, sodass beide Bedingungen scheitern.
| Aufgabe | Folge | Prüfung | Einordnung |
|---|---|---|---|
| 1 | Arithmetisch | ||
| 2 | |||
| 3 |
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| Geometrisch |
| Keines von beiden |
