Die Glieder einer Folge addieren
Wie lassen sich die Glieder einer Zahlenfolge zusammenfassen? Ein Ausdruck wie heißt .
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Eine Zahlenreihe wird gebildet, indem die Glieder einer Zahlenfolge in der angegebenen Reihenfolge addiert werden. Zwei gängige Beispiele sind eine arithmetische Reihe, deren Glieder aus einer arithmetischen Folge stammen, und eine geometrische Reihe, deren Glieder aus einer geometrischen Folge stammen.
Im folgenden Händedruckbeispiel fügt jede weitere Person der Summe einen neuen Term hinzu.
Für eine Folge ist die Summe ihrer ersten Glieder die -te Teilsumme:
Endliche Probleme erfordern eine bestimmte Teilsumme. Für eine unendliche Reihe untersuchen wir, ob sich die Folge einem endlichen Grenzwert nähert, wenn wächst.
In einer Gruppe schüttelt jede Person jeder anderen Person genau einmal die Hand. Wie viele Händedrücke gibt es insgesamt?
Bei drei Personen schüttelt die erste Person den beiden anderen die Hand. Ein Paar bleibt zwischen der zweiten und dritten Person, also gibt es insgesamt Händedrücke. Für vier Personen enthält das Diagramm eine Linie pro Paar. Eine Kreuzung von Linien fügt keine Person und keinen Händedruck hinzu.
Die Tabelle zählt die Händedrücke, wenn jeweils eine weitere Person dazukommt. Diese Person begrüßt alle bereits anwesenden Personen. Daher kommen nacheinander Händedrücke hinzu.
| Anzahl der anwesenden Personen | Anzahl der Händedrücke | Berechnung der Händedrücke |
|---|---|---|
| Zwei Personen | ||
| Drei Personen | ||
| Vier Personen | ||
| Fünf Personen |
Summen wie sind Beispiele für eine Zahlenreihe. Hier entsteht die Reihe aus den Gliedern der Folge natürlicher Zahlen .
Jedes Paar muss genau einmal gezählt werden. Würde man die Handschläge jeder Person einzeln zählen, würde jedes Paar zweimal gezählt, einmal aus der Sicht jeder Person.
Ein Händedruck ist ein ungeordnetes Personenpaar. Die Anzahl der aus Personen ausgewählten Paare beträgt:
Für ergibt dies , passend zur sequentiellen Summe.
Die Folge der Händedruckzahlen ist weder arithmetisch noch geometrisch, weil aufeinanderfolgende Glieder weder eine konstante Differenz noch einen konstanten Quotienten besitzen (, , ).
Jeder Ausdruck , , und ist eine Partialsumme der Folge der natürlichen Zahlen. Diese Partialsummen zeigen, wie eine Reihe aus den Gliedern einer Folge entsteht.
Wie viele Händedrücke gibt es bei , wenn sich jedes Paar genau einmal die Hand schüttelt?
Die sequentielle Summenmethode ergibt:
Die Paarzählformel liefert direkt das gleiche Ergebnis:
Es gibt also .
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