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Eine Bildungsvorschrift bestimmt den Wert an jeder Position. Für die geraden Zahlen multiplizierst du die Position mit zwei. Für die Quadratzahlen quadrierst du die Position. Diese beiden Beispiele besitzen schon an der ersten Position unterschiedliche Werte.
In beiden Beispielen hält die Folge jedes einzelne Glied und die Bildungsvorschrift für das nächste Glied fest.
Eine Reihe wird als Summe von Folgengliedern geschrieben. Die Partialsumme addiert die ersten Glieder. Kommt ein weiteres Glied hinzu, ändert sich die Partialsumme um dessen Wert. Ist das neue Glied null, bleibt die Partialsumme unverändert.
Eine Reihe addiert die Glieder einer Folge, und die Pluszeichen zwischen den Gliedern zeigen diese Addition. Aus jeder der beiden Beispielfolgen entsteht eine eigene Reihe.
Wenn die Glieder nach dem -ten Glied enden, ist der Wert der Summe die Partialsumme, meist mit bezeichnet.
Die Tabelle stellt beide Formen nebeneinander. Eine Folge hält die Glieder in ihrer Reihenfolge, und eine Reihe beschreibt die Addition dieser Glieder.
| Aspekt | Folge | Reihe |
|---|---|---|
| Darstellung | Geordnete Liste, deren Glieder durch Kommas getrennt sind, etwa | Summe, deren Glieder durch Pluszeichen verbunden sind, etwa |
| Fokus | Muster und Wert jedes einzelnen Gliedes | Wert der Summe |
Die Summe der ersten Glieder einer Folge ist die -te Partialsumme:
Eine Folge erzeugt damit eine neue Folge von Partialsummen. Für gilt:
Die Summe der Glieder von ergibt eine neue Folge, nämlich , und diese Partialsummen wachsen schneller als die ursprünglichen Glieder.
ist eine endliche Summe aus zwanzig Gliedern. Bei einer unendlichen Reihe fragen wir, ob sich für einem Grenzwert nähert.
Eine unendliche Reihe wird über den Grenzwert ihrer Partialsummen verstanden. Nähern sich die Partialsummen einem festen Wert, konvergiert die unendliche Reihe. Das Thema konvergente und divergente Reihen nutzt diesen Grenzwert, um Reihen mit festem Wert von den übrigen zu trennen.
Gegeben ist die Folge . Notiere die ersten vier Glieder und bestimme danach die ersten vier Partialsummen. Halte beide Listen getrennt, denn ein Glied beschreibt eine Position, während eine Partialsumme alle Glieder bis zu dieser Position aufsummiert.
Setzt du in ein, erhältst du die ersten vier Glieder, und das schrittweise Addieren dieser Glieder liefert die Partialsummen.
| Position | Aufgabe 1: Glied | Aufgabe 2: Partialsumme |
|---|---|---|
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