Arten von Lösungen quadratischer Gleichungen

Lösungen mithilfe der Diskriminante einordnen

Für eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit reellen Koeffizienten und $a \neq 0$ ist jede Zahl $x$ eine Lösung, die die Gleichung erfüllt: Setzt du sie ein, stimmen beide Seiten überein. Zum Beispiel ergibt $x = 2$ in $x^2 - 5x + 6 = 0$ den Wert $4 - 10 + 6 = 0$ , also ist 2 eine Lösung.

Über den reellen Zahlen allein hat eine Gleichung mit negativer Diskriminante keine Lösung. Über den komplexen Zahlen besitzt dagegen jede quadratische Gleichung zwei Lösungen. Fallen beide zusammen, wie bei $x^2 - 6x + 9 = 0$ unten, zählen wir diese doppelte Lösung zweimal.

Die Lösungsformel berechnet beide Lösungen direkt aus $a$ , $b$ und $c$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Der Ausdruck $b^2 - 4ac$ heißt $Diskriminante$ und wird mit $D$ bezeichnet. Bei $D > 0$ liegen zwei verschiedene reelle Lösungen vor, bei $D = 0$ eine doppelte und bei $D < 0$ $zwei nichtreelle komplexe Lösungen$ . Am Vorzeichen von $D$ erkennst du also die Lösungsart, ohne die Formel ganz auszurechnen.

Zwei verschiedene reelle Lösungen

Für $D > 0$ oder $b^2 > 4ac$ besitzt die quadratische Gleichung $zwei verschiedene reelle Lösungen$ .

\begin{aligned} &x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \\ &\text{und} \\ &x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \end{aligned}

Beispiel: $x^2 - 5x + 6 = 0$

\begin{aligned}D&=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=1\\x_1&=\frac{5+\sqrt1}{2}=3\\x_2&=\frac{5-\sqrt1}{2}=2\end{aligned}

Eine doppelte reelle Lösung

Für $D = 0$ oder $b^2 = 4ac$ stimmen beide Werte aus der Lösungsformel überein. Die Gleichung besitzt eine $doppelte reelle Lösung$ .

x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}

Beispiel: $x^2 - 6x + 9 = 0$

\begin{aligned}D&=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\\x_1=x_2&=\frac{6\pm0}{2}=3\end{aligned}

Zwei nichtreelle komplexe Lösungen

Für $D < 0$ oder $b^2 < 4ac$ besitzt die quadratische Gleichung $zwei nichtreelle komplexe Lösungen$ . Sie bilden ein konjugiertes Paar.

\begin{aligned} &x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a} \\ &\text{und} \\ &x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a} \end{aligned}

Dabei definiert $i^2=-1$ die imaginäre Einheit.

Beispiel: $x^2 + 2x + 5 = 0$

\begin{aligned}D&=2^2-4\cdot1\cdot5=-16\\x&=\frac{-2\pm i\sqrt{16}}{2}\\&=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i\end{aligned}

Im reellen Graphen sind $reelle Lösungen die x-Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse$ . Die erste Kurve schneidet die Achse zweimal, die zweite berührt sie an der doppelten Lösung und die dritte bleibt darüber. Nichtreelle komplexe Lösungen liegen nicht auf der reellen x-Achse.

Diskriminante und Achsenschnittpunkte

Vergleiche die drei berechneten Beispiele. Folge jeder Kurve von ihrer Gleichungsbeschriftung zur x-Achse und zähle ihre Schnittpunkte.

Lösungen und Koeffizienten verknüpfen

Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen von $ax^2 + bx + c = 0$ , gelten nach den Formeln von Vieta:

Multipliziere die Faktorform aus und vergleiche die Koeffizienten gleicher Potenzen von x. So erhältst du $Summe und Produkt der Lösungen$ :

\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\b&=-a(x_1+x_2)\\c&=ax_1x_2\end{aligned}

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Mit diesen Beziehungen lassen sich berechnete Lösungen überprüfen oder die Koeffizientenverhältnisse $b/a$ und $c/a$ bestimmen. Eine konkrete Gleichung ist festgelegt, sobald zusätzlich der Leitkoeffizient $a$ bekannt ist.

Übung

Die Aufgabe verlangt zuerst die Einordnung und danach die Lösungen, deshalb berechnest du die $Diskriminante vor dem Wurzelziehen$ . Die Probe über Summe und Produkt zeigt anschließend, ob beide Nullstellen zusammenpassen.

Ordne die Lösungen der Gleichung $2x^2-4x+5=0$ ein und bestimme sie. Prüfe sie anschließend über ihre Summe und ihr Produkt.

Ausführliche Lösung

Die Koeffizienten sind $a=2$ , $b=-4$ und $c=5$ . Die Diskriminante ist

\begin{aligned} D &=(-4)^2-4\cdot2\cdot5 \\ &=16-40 \\ &=-24 \end{aligned}

Wegen $D<0$ besitzt die Gleichung $zwei nichtreelle komplexe Lösungen$ . Wir setzen in die Lösungsformel ein und verwenden $\sqrt{-24}=2i\sqrt6$ :

x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{-24}}{2\cdot2}

Somit gilt:

\begin{aligned} &x_1=1+\frac{i\sqrt6}{2} \\ &\text{und} \\ &x_2=1-\frac{i\sqrt6}{2} \end{aligned}

Summe und Produkt stimmen mit den Formeln von Vieta überein:

x_1+x_2=2=-\frac{b}{a}

Beide Kontrollen verwenden die ursprünglichen Koeffizienten. Dadurch fallen ein verlorenes Vorzeichen oder ein falscher Nenner in der Lösungsformel auf.