Translasi Horizontal

Menggeser Grafik ke Kiri atau Kanan

Translasi horizontal menggeser grafik fungsi ke kiri atau ke kanan sepanjang sumbu $x$ tanpa mengubah bentuknya. Setiap titik berpindah sejauh jarak horizontal yang sama, seperti sebuah benda yang digeser di atas meja.

Jika kamu memiliki fungsi $f(x)$ , translasi horizontal menghasilkan fungsi baru $g(x) = f(x - h)$ . Konstanta $h$ menentukan arah dan jarak pergeserannya.

Aturan Tanda pada Translasi Horizontal

Perhatikan letak $h$ pada rumus berikut. Nilai itu ditulis di dalam tanda kurung bersama $x$ , sehingga nilai itu mengubah masukannya sebelum fungsinya bekerja.

g(x) = f(x - h)

Karena $h$ berada di dalam kurung, tandanya bekerja kebalikan dari arah yang kamu baca. Mengurangi $x$ dengan bilangan positif membuat grafik bergeser ke kanan, sedangkan menambah bilangan positif membuat grafik bergeser ke kiri.

Nilai $h$	Pergeseran grafik	Contoh titik puncak
$h > 0$	Ke kanan sebesar $h \text{ satuan}$	$(0,0)$ menjadi $(h,0)$
$h < 0$	Ke kiri sebesar $\lvert h \rvert \text{ satuan}$	$(0,0)$ menjadi $(h,0)$
$h = 0$	Grafik tidak bergeser	$(0,0)$ tetap di tempatnya

Ketiga baris itu memakai titik puncak $(0,0)$ sebagai patokan supaya arah pergeseran mudah dibandingkan. Untuk fungsi dengan titik acuan lain, seluruh titik berpindah dengan besar dan arah yang sama.

Memeriksa Aturan pada Grafik Kuadrat

Bayangkan tiga parabola berada pada bidang yang sama. Ketiganya memiliki bentuk yang identik, tetapi titik puncaknya berada di posisi horizontal yang berbeda.

Translasi Horizontal Fungsi Kuadrat

f(x) = x^2

Perhatikan bagaimana grafik bergeser horizontal tanpa mengubah bentuk parabola.

Pada grafik di atas, kurva berwarna ungu adalah fungsi asli $f(x) = x^2$ dengan titik puncak di $(0,0)$ . Kurva oranye adalah $g(x) = (x-3)^2$ . Karena $x$ dikurangi $3$ , grafik bergeser $3 \text{ satuan}$ ke kanan hingga titik puncaknya berpindah ke $(3,0)$ . Kurva hijau adalah $h(x) = (x+2)^2$ . Di sini $x$ ditambah $2$ , sehingga grafik bergeser $2 \text{ satuan}$ ke kiri dan titik puncaknya berpindah ke $(-2,0)$ .

Perhatikan bahwa ketiga parabola tetap memiliki lebar dan bentuk yang sama. Yang berubah hanya posisi horizontalnya, jadi arah pergeseran dapat kamu baca langsung dari tanda di dalam kurung.

Memeriksa Aturan pada Grafik Linear

Aturan yang sama berlaku pada fungsi linear $f(x) = 2x + 1$ . Pada garis lurus, pergeseran horizontal tidak mengubah kemiringan, jadi cara memeriksa tandanya lebih mudah dibandingkan pada parabola.

Translasi Horizontal Fungsi Linear

f(x) = 2x + 1

Garis tetap memiliki kemiringan yang sama, hanya posisi horizontalnya yang berubah.

Grafik ungu menunjukkan garis asli dengan kemiringan $2$ . Grafik oranye adalah $g(x) = 2(x-4)+1$ yang bergeser $4 \text{ satuan}$ ke kanan, sedangkan grafik biru adalah $h(x) = 2(x+3)+1$ yang bergeser $3 \text{ satuan}$ ke kiri. Ketiganya tetap sejajar karena kemiringan tidak berubah.

Dari kedua contoh itu, arah pergeseran selalu ditentukan oleh tanda di dalam kurung. Ini kebalikan dari translasi vertikal, yang menambahkan konstanta di luar fungsi.

Nilai Mana yang Bergeser pada Translasi Horizontal

Setelah arah pergeseran dipahami, kamu perlu tahu bagian mana dari fungsi yang ikut berubah. Translasi horizontal bekerja pada masukan fungsi, jadi semua yang bergantung pada posisi $x$ ikut bergeser, sedangkan nilai keluaran tetap sama.

Ambil titik $(a, b)$ yang berada pada grafik $f(x)$ . Setelah translasi sebesar $h$ , titik itu berpindah ke $(a + h, b)$ pada grafik $f(x - h)$ . Nilai $y$ tidak berubah, yang bergeser hanya koordinat $x$ .

Bagian fungsi	Sebelum translasi	Setelah translasi $h$
Bentuk grafik	Bentuk asli	Sama, hanya bergeser horizontal
Titik $(a, b)$	Pada grafik $f(x)$	Berpindah ke $(a + h, b)$
Domain $[c, d]$	Selang asli	Berpindah menjadi $[c + h, d + h]$
Range	Nilai keluaran asli	Tetap sama seperti fungsi asli

Jadi domain bergeser bersama grafik karena domain menyatakan batas nilai $x$ , sedangkan range tidak berubah karena tinggi grafik di setiap titik tetap sama. Untuk translasi vertikal, keduanya bertukar peran: domain tetap dan range yang bergeser.

Memeriksa Aturan pada Grafik Eksponensial

Fungsi eksponensial memperlihatkan hal yang berbeda dari garis dan parabola. Bentuk dan asimtotnya tetap, tetapi perpotongan dengan sumbu $y$ ikut bergeser.

Translasi Horizontal Fungsi Eksponensial

f(x) = 2^x

Kurva eksponensial mempertahankan karakteristiknya setelah translasi horizontal.

Perhatikan bahwa asimtot horizontal tetap berada di $y = 0$ , karena pergeseran horizontal tidak mengubah perilaku kurva saat $x$ menjadi sangat besar atau sangat kecil. Fungsi $g(x) = 2^{x-2}$ bergeser $2 \text{ satuan}$ ke kanan, sedangkan $h(x) = 2^{x+1}$ bergeser $1 \text{ satuan}$ ke kiri.

Titik potong dengan sumbu $y$ ikut berpindah, karena titik itu berada pada $x = 0$ dan tidak lagi menjadi posisi aslinya. Inilah bedanya dengan translasi vertikal, yang menggeser nilai keluaran tanpa mengubah letak horizontal titik potongnya.

Membedakan Translasi Horizontal dan Vertikal

Translasi horizontal dan translasi vertikal sama-sama menggeser grafik, tetapi keduanya bekerja pada bagian rumus yang berbeda. Perbedaan itu menentukan bagian mana dari koordinat yang berubah.

Pembeda	Translasi horizontal	Translasi vertikal
Rumus	$g(x) = f(x - h)$	$g(x) = f(x) + k$
Bagian yang diubah	Masukan fungsi	Keluaran fungsi
Arah pergeseran	Pada koordinat $x$	Pada koordinat $y$
Tanda konstantanya	Kebalikan dari arah baca	Sesuai dengan tanda $k$
Domain dan range	Domain bergeser, range tetap	Domain tetap, range bergeser

Perbedaan utamanya terletak pada letak konstanta. Konstanta di dalam kurung mengubah masukan, sehingga pergeseran terjadi pada arah horizontal dan tanda kerjanya terbalik. Konstanta di luar kurung mengubah keluaran, sehingga pergeseran terjadi pada arah vertikal dan tandanya bekerja seperti biasa.

Perubahan yang melebarkan atau menyempitkan grafik dibahas terpisah pada dilatasi horizontal dan dilatasi vertikal, sedangkan urutan pengerjaan saat beberapa transformasi dipakai bersamaan dibahas pada kombinasi transformasi fungsi.

Latihan

Tiga soal berikut memakai aturan tanda yang baru saja kamu pelajari. Setiap soal mengganti bagian dalam kurung dengan cara yang berbeda, jadi perhatikan letak $h$ pada setiap fungsi. Kerjakan dulu tanpa melihat kunci, lalu bandingkan langkahmu dengan pembahasan di bawah.

Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + 2x + 1$ . Tentukan persamaan fungsi hasil translasi horizontal ke kanan sebesar $3 \text{ satuan}$ .
Grafik fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ ditranslasi horizontal ke kiri sebesar $4 \text{ satuan}$ . Tentukan persamaan fungsi hasil translasi, lalu tentukan domain fungsi setelah translasi.
Fungsi $h(x) = 3^x$ mengalami translasi horizontal sehingga titik $(0, 1)$ menjadi $(2, 1)$ . Tentukan nilai konstanta translasi dan persamaan fungsi hasil translasi.

Kunci Jawaban

Translasi horizontal menggeser grafik ke kiri atau ke kanan sesuai tanda pada penggantian $x$ . Setelah persamaannya diperoleh, grafik barunya diperiksa untuk memastikan arah pergeserannya sudah sesuai.

Translasi horizontal ke kanan $3 \text{ satuan}$ : $f'(x) = f(x - 3) = (x - 3)^2 + 2(x - 3) + 1 = x^2 - 4x + 4$

Fungsi $f(x) = x^2 + 2x + 1$ dan Hasil Translasinya
Fungsi kuadrat asli dan hasil translasi horizontal ke kanan $3 \text{ satuan}$ .
Persamaan fungsi hasil translasi:
- Translasi ke kiri $4 \text{ satuan}$ : $g'(x) = g(x + 4) = \sqrt{x + 4}$
- Domain setelah translasi: $x + 4 \geq 0$ , sehingga $x \geq -4$ atau $[-4, \infty)$
Visualisasi:

Fungsi $g(x) = \sqrt{x}$ dan Hasil Translasinya
Fungsi akar kuadrat asli dan hasil translasi horizontal ke kiri $4 \text{ satuan}$ .
Titik $(0, 1)$ pada $h(x) = 3^x$ menjadi $(2, 1)$ , berarti translasi horizontal sebesar $h = 2 \text{ satuan}$ ke kanan. Persamaan hasil translasi: $h'(x) = 3^{x-2}$

Fungsi $h(x) = 3^x$ dan Hasil Translasinya
Fungsi eksponensial asli dan hasil translasi horizontal ke kanan $2 \text{ satuan}$ .